Distribuição Normal
Função densidade de probabilidade para quatro diferentes conjuntos de parâmetros; a linha verde representa a distribuição normal standard.
A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatisticas conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi desenvolvida pelo matemático francês Abraham de Moivre.
Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma Normal.
Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provem do Teorema Central do Limite que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso).
Função de densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade da distribuição normal com média μ e variância σ2 (de forma equivalente, desvio padrão σ) é assim definida,
Se a variável aleatória X segue esta distribuição escreve-se: X ~ N(μ,σ2). Se μ = 0 e σ = 1, a distribuição é chamada de distribuição normal padrão e a função de densidade de probabilidade reduz-se
a propriedades .
A função densidade de probabilidade da distribuição normal com média μ e variância σ2 (de forma equivalente, desvio padrão σ) é assim definida,
Se a variável aleatória X segue esta distribuição escreve-se: X ~ N(μ,σ2). Se μ = 0 e σ = 1, a distribuição é chamada de distribuição normal padrão e a função de densidade de probabilidade reduz-se
a propriedades .
Propriedades
Se X segue uma distribuição normal, então a X + b também segue.
Se X e Y são distribuições normais independentes, então sua soma U = X + Y, sua diferença V = X - Y ou qualquer combinação linear W = a X + b Y também são distribuições normais.
É fácil construir exemplos de distribuições normais X e Y dependentes (mesmo com correlação zero) cuja soma X + Y não é normal. Por exemplo, seja X uma distribuição normal padrão (média 0 e variância 1), então fixando-se um número real positivo a, seja Ya definida como X sempre que X < title="Teorema do Limite Central" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_Limite_Central">Teorema do Limite Central.
A distribuição normal é infinitamente divisível, no seguinte sentido: se X é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal e n é um número natural, então existem n variáveis aletórias , independentes e identicamente distribuídas tal que
Distribuições relacionadas
Se X e Y são distribuições normais independentes, então sua soma U = X + Y, sua diferença V = X - Y ou qualquer combinação linear W = a X + b Y também são distribuições normais.
É fácil construir exemplos de distribuições normais X e Y dependentes (mesmo com correlação zero) cuja soma X + Y não é normal. Por exemplo, seja X uma distribuição normal padrão (média 0 e variância 1), então fixando-se um número real positivo a, seja Ya definida como X sempre que X < title="Teorema do Limite Central" href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_Limite_Central">Teorema do Limite Central.
A distribuição normal é infinitamente divisível, no seguinte sentido: se X é uma variável aleatória que segue uma distribuição normal e n é um número natural, então existem n variáveis aletórias , independentes e identicamente distribuídas tal que
Distribuições relacionadas
R˜Rayleigh(σ2) é a distribuição de Rayleigh se onde X˜N(0,σ2) e Y˜N(0,σ2) são duas distribuições normais independentes.
é a distribuição Chi-quadrado com ν graus de liberdade se em que Xk˜N(0,1) para são distribuições normais padrão independentes.
Y˜Cauchy(μ = 0,θ = 1) é a distribuição de Cauchy se Y = X1 / X2 para X1˜N(0,1) e X2˜N(0,1) são duas distribuições normais padrão independentes.
Y˜Log-N(μ,σ2) é a distribuição log-normal se Y = eX e X˜N(μ,σ2).
Relação com Lévy skew alpha-stable distribution: se então X˜N(μ,σ2).
Distribuição normal truncada: Se X˜N(μ,σ2) então, truncando para valores entre A e B temos uma variável aleatória contínua com média , em que , e , sendo a função densidade de probabilidade e a função de probabilidade acumulada de uma distribuição normal padrão.
é a distribuição Chi-quadrado com ν graus de liberdade se em que Xk˜N(0,1) para são distribuições normais padrão independentes.
Y˜Cauchy(μ = 0,θ = 1) é a distribuição de Cauchy se Y = X1 / X2 para X1˜N(0,1) e X2˜N(0,1) são duas distribuições normais padrão independentes.
Y˜Log-N(μ,σ2) é a distribuição log-normal se Y = eX e X˜N(μ,σ2).
Relação com Lévy skew alpha-stable distribution: se então X˜N(μ,σ2).
Distribuição normal truncada: Se X˜N(μ,σ2) então, truncando para valores entre A e B temos uma variável aleatória contínua com média , em que , e , sendo a função densidade de probabilidade e a função de probabilidade acumulada de uma distribuição normal padrão.
Simulação
Implementações computacionais do Método de Monte Carlo normalmente precisam simular várias variáveis aleatórias normais. Muitos programas e pacotes não conseguem simular diretamente a normal, mas têm simuladores da distribuição uniforme. Uma forma rápida e prática de gerar normais a partir da uniforme é a transformação de Box-Muller: sejam U1 e U2 valores independentes gerados pela distribuição uniforme entre 0 e 1. Então:
e são normais padronizadas independentes.
e são normais padronizadas independentes.
Teorema de Pitágoras
É provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.Se c designar o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema afirma que:c^2 = a^2 + b^2.\, Durante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que Pitágoras teria seguido os seguintes passos:Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva o nome.1. Desenha-se um quadrado de lado a + b;2. Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;3. Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se C o comprimento de cada diagonal;4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a a2 + b2;5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.Assim, a área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a: c2Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: a2 + b2 = c2, ou seja, num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida a e b foram chamados de catetos.Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era válido para qualquer triângulo retângulo.Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.
Geometria
A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas, planas e espaciais, com as suas propriedades.A geometria está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teorema e corolários. Sendo que essas afirmações e definições são usados para demonstrar a validade de cada teorema.A geometria permite-nos o uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
Algumas definições
Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:1-Os lados opostos são congruentes;2-Os ângulos opostos são congruentes;3-A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o;4-As diagonais cortam-se ao meio.
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.
Fonte de Pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_normal
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